бие даалт

Корреляцийн коэффициент түүнтэй холбоотой тэнцэтгэл бишүүд:

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн өгөгдсөн байг. –ийн ковариац гэж                                                                                 cov=E    

хэмжигдэхүүнийг хэлнэ. Энд математик дундажийн чанарыг ашиглавал

cov=E   Мэдээж -оос cov=Dξ болох нь харагдаж байна. Ковариацийн хувьд дараах тэгшитгэлүүд шууд батлагдана: covcov,

 cov а×cov .Дурын хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперсийн  тодорхойлолтыг ашиглавал D=D+D+2cov

Теорем 1 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ковариацууд cov(=     оршин байвал дурын тогтмол   авахад                                   D=  

Баталгаа: Хэрвээ 

                     ,

                     ,

Сүүлчийн тэгшитгэлийн хоёр талаас математик дундаж авбал теором батлагдаж байна. (3)-ийн баруун тал нь с_{1,..........,}с_n хувьсагчдын хувьд квадратлаг  хэлбэр байна. (3)-ийн зүүн тал нь с_{1,..........,}с_n  -ийн дурын утганд сөрөг биш байгаа тул энэхүү кватратлаг хэлбэр нь сөрөг бус тодорхой кватратлаг хэлбэр болох нь. Кватратлаг хэлбэр нь сөрөг бус тодорхой байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээт нөхцөл нь түүний коэффициентүүдээс зохиосон матрицийн бүх гол минорууд нь сөрөг бус байх явдал билээ. Иймд теорем -ээс дараах чанар мөрдөж байна.

Дурын m тоо, дурын  санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ковариацийн матриц гэж нэрлэгдэх

D==,  матрицийн тодорхойлогч нь  Хэрэв m=2 гэвэл

=D D - болж

     

Энэ тэнцэтгэл биш нь хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний ковариацийн Коши-Буняковскийн  тэнцэтгэл биш болно.

Дисперсийн 4-р чанарыг батлах явцад хэрэв  нь үл хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бол

cov=0      болохыг харсан.

Ийнхүү хэрэв cov бол  хоёр нь хоорондоо хамааралтай байх болно. Ер нь  хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлын тоон характеристик болгож корреляцийн коэффициент хэмээн нэрлэгдэх

 =     хэмжигдэхүүнийг хэрэглэдэг.

Теорем 2: Дурын  санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент нь дараах чанартай:

1.   

2.     нь үл хамаарах бол =0.

3.    =AB (A,B-тогтмолууд) бол

                              

Баталгаа: Чанар 1 нь (3,4), (3,6)-с мөрдөнө. Чанар 2 нь (3,5), (3,6)-аас мөн шууд мөрдөж байна. 3 чанарыг батлая. Хэрэв E, D бол

                               E

                               Cov () E)(A))

Эндээс                

Буюу                    

Теором батлагдав.,

Корреляцийн коэффициент нь тэгтэй тэнцүү гэдгээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах нь ерөнхийдөө гардаггүй байна. Ийм байдөг нэг жишээ байгуулхад л хангалттай. ( санамсахгүй хэмжигдэхүүнүүдийн      хамтын тархалт нь дараах томъёогоор тодорхойлогдсон.

 P0)P(

Эндээс P(,

-ийн тархалт           P(, P() 

Дээрх тархалтуудаас жишээлбэл:

P( P()

Болох тул нь хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байна. Ковариацийг (2) томъёогоор бодвол:

cov= P(i,(j)

Ийнхүү    Ковариц нь тэг гэдгээс хамааралгүй гэж ерөнхийдөө гардаггүй болох нь тогтоогдож байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дээр авч үзсэн характеристикүүдээс гадна дээд эрэмбийн моментүүд  гэж нэрлэгдэх тоон характеристикүүдийг мөн ашигладаг байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ-ийн к эрэмбийн момент гэж Е-г хэлнэ. Харин E хэмжигдэхүүнийг К эрэмбийн төвийн момент гэдэг.

Санамсаргүй вектор ( ......... өгөгдсөн байг. Тэгвэл:

                               E

                            E

Хэмжигдэхүүнүүдийг харгалзан К=K₁...... эрэмбийн холимог момент, К эрэмбийн холимог момент гэж нэрлэдэг. Энэ дээд эрэмбийн моментүүдийг (1,3),(1,6)  томъёонуудыг ашиглан тооцоолж болно. Жишээлбэл: p(x₁x₂) бол

Е

Дээр оруулсан моментуудыг харгалзах математик дундаж нь оршин байх үед л оршиж байна гэж үзнэ. Хэрэв Е момент оршин байвал Е, к=1,2,.....,m-1, моментууд оршин байдаг. Энэ нь ^k≤^m+1,     k=1,2,.....,m-1, тэнцэтгэл бишээс мөрдөнө.

Жишээ1:

X y	5	10	15	20	25	30	35
100						6	1	7
120						4	2	6
140				10	5			23
160	3	4	3					10
180	2	1						4
	5	5	11	11	5	10	3	N=50

Корреляцийн коэффициентийг ол.

Бодолт:

 =             =         =15=140                    =5=20

==-2      ==-2   гэх мэт

		-2	-1	0	1	2	3	4		u’	u’*v
	X y	5	10	15	20	25	30	35
-2	100						6	1	7	-14	28
-1	120						4	2	6	-6	6
0	140				10	5			23	0	0
1	160	3	4	3					10	10	10
2	180	2	1						4	6	12
		5	5	11	11	5	10	3	N=50
		-10	-5	0	11	10	30	12

==0.96

==-0.04

²==3.88

²==1.2

=²-²=0.9216=1.72

=²-²=0.0016=1.09

r==0.36

Жишээ2:

		-3	-2	-1	0	1	2	3		u’	u’*v
	X y	18	23	28	33	38	43	48
-2	125						-	-	1	-2	4
-1	150						-	-	8	-8	8
0	175		3		12	-			17	0	0
1	200	-	-	1		7			16	16	16
2	225	-	-						6	12	24
3	250	-	-	-	-	-	1	1	2	6	18
		1	6	8	20	10	4	1	N=50
		-3	-12	-8	0	10	8	3

Бодолт:

 =             =         =33 =175                    =5=25

==-3      ==-2   гэх мэт

==-0.04

==0.48

²==1.52

²==1.4

=²-²=0.0016=1.23

=²-²=0.2304=1.08

r==1.05   Нягтаршил   ихтэй

Ашигласан ном: 1. Ц.Бямбажав    Магадлалын онол математик статистик

                            2.” Магадлалын онолын бодлогын хураамж” номноос жишээ бодлогоо авав.

                БХИС -Цахилгаан  холбоо 2-б:    1.Д.Цагаанбаяр

                                                                       2.Энхмэнд

2011он09.15